利用費曼-卡茨監督馴服PINNs損失景觀：運算子預處理與非漸近誤差界限

研究論文提出一種名為FK-PINNs的方法，旨在解決物理資訊神經網路（PINNs）在處理挑戰性偏微分方程時訓練緩慢或失敗的問題。傳統PINNs的損失景觀因微分算子的條件數過大而難以訓練。論文探討在標準殘差和邊界損失中加入基於費曼-卡茨表示的點對點數據保真項，這項監督作為運算子層級的預處理器，能顯著降低條件數。對於允許費曼-卡茨表示的偏微分方程，透過蒙地卡羅平均生標籤，形成FK-PINNs方法。論文進一步推導了使用tanh啟動函數、經梯度下降訓練的FK-PINNs的非漸近L^2誤差界限，並建立了tanh神經網路導數的偽維度界限。數值實驗在泊松、薛丁格、平均退出時間和承諾者問題上驗證理論，顯示FK-PINNs能成功解決標準PINNs嚴重失敗的問題。這項研究不僅提出新方法，還提供了理論保證，包括誤差界限和條件數改善，對PINNs的應用有重要意義。